ネイピア数、二通りの表示

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初投稿です。

テーマはネイピア数というよりは極限の扱いついて気を付けるべきことです。

導入

数学系YouTuberの鈴木貫太郎氏が投稿されたネイピア数についての解説動画を見ていた時、一か所気になる説明があった。(ネイピア数を理解する上ではさほど重要な箇所ではないが)

ここではネイピア数を次のように定義する。

右辺を二項展開すると次のようになる。
 

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ここで3項目、4項目、…はn\to \inftyでそれぞれ\frac{1}{2!},\frac{1}{3!},\cdotsに収束するから結局、次の表示を得る。

ネイピア数の別表現 e=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots
というのがこの動画の解説である。
結論自体は正しいが、この議論には論理の飛躍がある。詳しい説明をしているサイトがないか調べたところ、むしろ似たような論理の飛躍をしている記事を二つも見つけた。

integraldx.infoosinko.hatenablog.jp普通、このネイピア数の表示は指数関数e^xマクローリン展開などを用いて導くのが一般的だと思うが、ここでは上記の議論を修正する方向で導出したいと思う。

どこがおかしいのか

先ほどの式をΣを使って表しておく。

\displaystyle{{(1+\frac{1}{n})}^n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots(1-\frac{k-1}{n})}

ここで、a_{n,k}=\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots(1-\frac{k-1}{n})とおくと

\displaystyle{{(1+\frac{1}{n})}^n=\sum_{k=1}^{n}a_{n,k}}であり、a_{n,k}\to \frac{1}{k!}\ (n\to \infty)が成り立つ。

一般的な状況を考えよう。(二重)数列\{a_{n,k}\}に対し、S_n=\sum_{k=1}^{n}a_{n,k}とおく。

もし各kについて、\lim_{n\to\infty}a_{n,k}は収束するならば、\displaystyle{\lim_{n\to\infty}S_n=\sum_{k=1}^{\infty}\lim_{n\to\infty}a_{n,k}}が成り立つというのが今回議論の焦点にしている主張である。

しかし、この主張が偽であることはすぐに分かる。

反例:(kに依らず)a_{n,k}=\frac{1}{n}と定めれば、S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}=1となるが、明らかに\sum_{k=1}^{\infty}\lim_{n\to\infty}a_{n,k}=0であり両者は一致しない。

もっと自明でない反例としては、この動画の前半の解説における|r| \lt 1の場合がある。これはまた別の機会に考察してみたい。

www.youtube.com

議論の修正

ここではネイピア数 e=\lim{(1+\frac{1}{n})}^n が収束することは認めることにする。

項ごとの収束と項数の増加、両方を同時に扱うのは難しいのである適当なNで項を打ち止めにしてみる。

(1)上から抑える

自然数Nを任意に固定する。N≦nとなるnに対し、

\displaystyle{\sum_{k=0}^{N}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots(1-\frac{k-1}{n})\leq\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots(1-\frac{k-1}{n})}

ここでn\to\inftyとすると、

\displaystyle{\sum_{k=0}^{N}\frac{1}{k!}\leq e}

ここでNは任意の自然数なので、これは任意の自然数Nについて成り立つ。

\sum_{k=0}^{N}\frac{1}{k!}は上に有界な単調増加列なので収束し、N\to\inftyとすると、

\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\leq e}

が成り立つ。

(2)下から抑える

\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots(1-\frac{k-1}{n})\leq\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}}

よりn\to\inftyとすると

\displaystyle{e \leq\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}}

以上より \displaystyle{e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}}が示された。

極限を二段階でとる議論は高校数学ではまず見ることはないので慣れないと難しいかもしれない。